隨著科技的發展與進步，人們對成像光學系統的要求越來越高。傳統球面與非球面可供光學設計使用的自由度較少，且結構受限，難以實現越來越高的設計要求。自由曲面打破了旋轉對稱以及平移對稱的幾何約束，為光學設計帶來更多的設計自由度，特別適用于校正非旋轉對稱系統的像差，同時可以減少系統中元件的數量，降低系統的體積與重量，實現傳統光學系統難以實現的系統參數、結構與功能。自由曲面為光學設計的發展注入了巨大潛力，但同時也帶來了全新的困難與挑戰。

自由曲面反射式AR眼鏡

北京理工大學王涌天教授課題組對自由曲面成像系統設計方面取得的進展及未來發展方向進行了總結與展望。

應用于照明系統設計等非成像領域的自由曲面經常使用離散數據點直接進行面形描述。但自由曲面成像系統設計過程中需對像質進行優化，因此通常采用有具體數學表達式的面型，其中很多是在基底球面或者二次曲面的基礎上疊加非旋轉對稱項得到的。常規自由曲面面型包括超環面、變形非球面和XY多項式自由曲面等。

正交面形描述主要有Zernike多項式曲面、Q多項式自由曲面等。使用Zernike多項式曲面進行光學設計有利于依據像差理論有針對性地進行像差校正。而使用Q多項式自由曲面可以使光學設計和加工檢測難度評價同時進行。此外還有可實現局部面形控制的自由曲面面型，如徑向基函數自由曲面以及非均勻有理B樣條曲面（NURBS）等。

自由曲面成像系統設計可采用類似于傳統設計的“初始結構選取+后續優化”的基本思路。傳統思路的自由曲面成像系統初始結構生成方法主要有兩種（如圖1所示）：一種是根據系統設計要求，從專利庫中或已有系統中尋找大致匹配的系統作為初始結構；另一種是根據近軸理論以及初級像差理論求解相應的同軸初始結構。以得到的初始結構為起點，設計者可建立相應的約束條件，并建立評價函數，逐步優化得到最終設計結果。

圖1 用于自由曲面成像系統設計的初始結構生成方法

在另一方面，自由曲面成像系統結構復雜，元件個數少，系統參數高。在很多情況下，設計者很難從已有系統中找到與設計要求接近的系統作為自由曲面系統設計的初始結構。如果從一個與設計要求相差較遠或者像質極差的初始結構為起點進行后續優化，對設計經驗的依賴較大，且時間成本與人力成本較高。以同軸系統為起點的系統設計也有相同的問題。綜上，自由曲面成像系統設計，面臨初始結構無可借鑒，即“初始結構無”的難題。

針對此問題，研究者們進行了大量的研究工作，目標都是更好、更快、更直接地得到滿足一定設計要求的初始結構（如圖1所示）。例如：基于光線逐點直接調控的數值求解方法，可根據系統成像與結構要求，通過數值求解得到自由曲面上的點并通過擬合得到待求自由曲面；基于像差理論的設計方法，可引導設計者實現像差較小的無遮攔初始結構設計或者指導系統結構選型。目前也有研究者提出基于神經網絡機器學習設計自由曲面系統初始結構的框架，可實現初始結構的快速建模。

除了“初始結構無”的問題，自由曲面成像系統的設計還面臨著“優化設計難”的問題。自由曲面的結構和面形特點導致傳統像差理論不再適用；而自由曲面面形描述中變量個數遠多于傳統球面以及非球面，優化模型復雜，光線追跡速度慢；系統整體的非對稱性又要求在優化過程中抽樣更多的視場和光線，導致優化耗時顯著增加。

在成像系統設計中使用自由曲面是一把“雙刃劍”，既能大幅提升系統設計的潛力，但又可能為成像系統設計帶來很多困難，需要針對復雜自由曲面成像系統設計建立合適、新型的優化策略與算法，來對優化設計過程進行指導，保證設計高效、順利進行。典型的系統優化策略大致總結于圖2。整體上來講，自由曲面成像系統的優化應該遵循一種漸進式的策略，這也符合光學設計的一般思路。此外，研究者們對于復雜搜索與優化算法、自由曲面位置選擇、復雜約束條件建立、結構可變的設計方法等方面也開展了研究工作。

圖2 自由曲面成像系統優化策略舉例

自由曲面在成像領域的一個典型應用為自由曲面離軸反射式成像系統。反射式系統沒有色差、光路可以折疊、透過率高、熱穩定性強、容易實現輕量化。然而，傳統同軸反射系統一般存在中心遮攔，限制了系統的分辨率、入射光能與視場大小。

而對于離軸消遮攔系統，由于系統的旋轉對稱性被破壞，會產生許多非常規的、有特殊視場依賴特性的像差。這些像差難以通過旋轉對稱的球面或非球面加以校正。而自由曲面引入的像差形式與曲面偏心和傾斜引入的像差形式完全對應，特別適合于離軸非對稱系統設計。目前應用范圍包括：大孔徑/小F數系統（圖3(a)）、大視場系統（圖3(b)與3(c)）、無焦望遠系統（圖3(d)）、帶有實出瞳的系統、成像光譜儀（圖3(e)）、以及其它有某些特殊功能或性質的系統，如雙通道雙視場兩檔變焦系統（圖3(f)）、全視場地面分辨率近似不變的系統等。

圖3 自由曲面離軸反射式系統舉例. (a) 小F數成像系統。(b) (c) 大視場成像系統; (d) 無焦望遠系統。(e) 成像光譜儀; (f) 雙通道雙視場兩檔變焦系統;

自由曲面的另一種典型應用為目視成像系統，包含頭盔顯示器、平視顯示器、相機電子取景器等，其中在用于VR和AR的頭盔顯示系統中的應用較為突出。目前此類系統向著小型化、輕量化、離軸化方向發展，同時追求更大的視場、更長的出瞳距、更大的出瞳直徑。使用傳統球面以及非球面已經難以滿足上述設計要求，而使用自由曲面可以較好地解決上述問題。

例如圖4(a)所示的大視場、大相對孔徑的自由曲面楔形棱鏡式頭盔目視系統，浸沒式顯示部分僅由一塊楔形棱鏡組成。與同等參數的旋轉對稱式目鏡對比，自由曲面顯示系統總長僅為后者的1/2，重量僅為后者的1/7。系統在楔形棱鏡的前方增加一片自由曲面輔助透鏡，使浸沒式頭盔顯示器具有光學透視功能。此外，自由曲面還在超大視場高分辨率拼接式頭盔顯示器（圖4(b)）、雙焦面空間復用真實立體感頭盔顯示器（圖4(c)）、基于棱鏡和微透鏡/微結構陣列的光場頭盔顯示器（圖4(d)）、帶有合成器的視透型頭盔顯示器（圖5）、基于幾何或者衍射波導的近眼顯示系統（圖6）中都得到了應用。

圖4  自由曲面棱鏡式頭盔顯示器舉例. (a) 大視場、大相對孔徑頭盔顯示器; (b) 自由曲面拼接式頭盔顯示器; (c) 自由曲面雙焦面頭盔顯示器; (d) 自由曲面光場頭盔顯示器;

圖5 帶有合成器的自由曲面視透型頭盔顯示器；

圖6 含有自由曲面的波導型頭盔顯示器.(a) 幾何波導; (b) 衍射波導;

除了上述已經介紹的應用之外，自由曲面在成像領域還有一些其它典型應用，例如手機相機、環景變焦物鏡、f-θ物鏡、超近距投影儀、光刻系統、微透鏡陣列、內窺鏡等。